Capítulo 11: Teoría de la Probabilidad
11.3 Distribuciones de Probabilidad Especializadas
11.3.1 Distribución Exponencial
La distribución Exponencial es una distribución de probabilidad que se utiliza para modelar el tiempo entre eventos en un proceso de puntos de Poisson. Este proceso se caracteriza por la ocurrencia de eventos que suceden continuamente e independientemente a una tasa constante, denotada por $λ$. En otras palabras, la distribución Exponencial es una distribución de probabilidad continua que describe la cantidad de tiempo que transcurre antes de que ocurra un evento en un proceso de Poisson.
Esta distribución se utiliza ampliamente en varios campos, incluyendo ingeniería, economía y física, donde se utiliza para modelar el tiempo entre ocurrencias de ciertos eventos. Por ejemplo, la distribución Exponencial se puede usar para modelar el tiempo entre fallas de un sistema mecánico, el tiempo entre llegadas de clientes en una cola o el tiempo entre eventos de decaimiento radiactivo.
La distribución Exponencial es un concepto fundamental en la teoría de la probabilidad y es una herramienta esencial para modelar y analizar una amplia gama de fenómenos del mundo real.
Función de Densidad de Probabilidad (PDF):
$f(x;λ)=λe^{-λx}$ para $x≥0$.
Ejemplo: Tiempo de Espera para la Llegada de un Autobús
Digamos que estás esperando un autobús que llega, en promedio, cada 15 minutos. La tasa $λ$ sería entonces $1/15$ autobuses por minuto. La probabilidad de que tengas que esperar exactamente 10 minutos sería:
import math
lmbda = 1/15
x = 10
prob = lmbda * math.exp(-lmbda * x)11.3.2 Distribución de Poisson
La distribución de Poisson es un concepto estadístico que describe la probabilidad de un número específico de eventos (k) que ocurren dentro de un intervalo de tiempo fijo. Esta distribución de probabilidad se utiliza en una amplia gama de campos, incluyendo ingeniería, física y biología. Es particularmente útil cuando se analizan eventos raros que ocurren en intervalos aleatorios, como el número de defectos en un lote de productos, el número de llamadas recibidas por un centro de atención al cliente en una hora determinada, o el número de accidentes que ocurren en un tramo de carretera particular en un mes.
La distribución de Poisson lleva el nombre del matemático francés Siméon Denis Poisson, quien introdujo el concepto a principios del siglo XIX. Está relacionada con otras distribuciones de probabilidad, como las distribuciones binomial y normal, y se puede derivar de ellas bajo ciertas condiciones.
Para calcular la distribución de Poisson, necesitas conocer la tasa media de ocurrencia del evento (λ) y el intervalo de tiempo específico que te interesa. Una vez que tengas estos valores, puedes usar la fórmula de Poisson para calcular la probabilidad de que ocurran k eventos dentro de ese intervalo de tiempo.
En general, la distribución de Poisson es una herramienta poderosa para comprender la probabilidad de que ocurran eventos raros dentro de un período de tiempo fijo. Al utilizar este concepto, los investigadores y analistas pueden tomar decisiones más informadas y obtener una comprensión más profunda de los fenómenos que están estudiando.
Función de Masa de Probabilidad (PMF):
Ejemplo: Automóviles Pasando por un Túnel
Imagina un túnel donde, en promedio, pasan 5 autos cada minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 autos pasen en el próximo minuto?
from scipy.stats import poisson
lmbda = 5 # average number of cars per minute
k = 3 # number of occurrences
prob = poisson.pmf(k, lmbda)11.3.3 Distribución Beta
La distribución Beta es una familia ampliamente utilizada de distribuciones de probabilidad continua que se define en el intervalo [0, 1]. Está parametrizada por dos parámetros de forma positivos, $\alpha$ y $\beta$. La distribución Beta es una distribución versátil que se puede utilizar para modelar una amplia gama de fenómenos, incluyendo proporciones, proporciones de éxitos y fracasos, y el comportamiento de variables aleatorias que toman valores en el rango [0, 1].
Esta distribución se utiliza a menudo en estadística bayesiana, donde se utiliza para modelar las distribuciones previas y posteriores de probabilidades, así como en el aprendizaje automático, donde se utiliza en la construcción de modelos probabilísticos. Además, la distribución Beta tiene muchas propiedades interesantes, como el hecho de que es una distribución conjugada a la distribución binomial y que se puede utilizar para modelar el comportamiento de variables aleatorias que están limitadas en el rango [0, 1].
PDF:
f(x; \alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}
Donde B(\alpha, \beta) es la funcion beta.
Ejemplo: Calificaciones de Exámenes
Supongamos que las calificaciones de los exámenes se sabe que siguen una distribución Beta con parámetros \alpha = 2 and \beta = 5. Para encontrar la probabilidad de que una calificación de examen seleccionada al azar esté entre 0.4 y 0.6:
from scipy.stats import beta
a, b = 2, 5
prob = beta.cdf(0.6, a, b) - beta.cdf(0.4, a, b)11.3.4 Distribución Gamma
La distribución Gamma es una distribución de probabilidad versátil y útil que se caracteriza por dos parámetros. Esta distribución se utiliza ampliamente en diversos campos de estudio, incluyendo física, ingeniería, finanzas y biología.
La distribución Gamma es en realidad una generalización de otras dos distribuciones importantes, a saber, las distribuciones exponencial y Erlang. Se utiliza para modelar una amplia gama de fenómenos, desde el tiempo entre terremotos hasta el tiempo de espera entre llamadas telefónicas entrantes.
La distribución Gamma también es útil en el análisis de fiabilidad, donde se utiliza para modelar datos de tiempo hasta el fallo. Además, tiene aplicaciones en análisis bayesiano, donde se utiliza como una prior conjugada para ciertas funciones de verosimilitud. En general, la distribución Gamma es una herramienta poderosa para analizar conjuntos de datos complejos y es una parte esencial del conjunto de herramientas de cualquier estadístico.
PDF:
f(x; \alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}
Donde \Gamma(\alpha) es la función gamma.
Ejemplo: Tiempo de Espera para un Evento Específico
Supongamos que conoces el tiempo de espera promedio para un evento raro que sigue una distribución Gamma con \alpha = 2 and \beta = 1. Usando Python:
from scipy.stats import gamma
alpha, beta = 2, 1
prob = gamma.pdf(x, alpha, scale=1/beta)11.3.5 Distribución Log-Normal
La distribución Log-Normal es una distribución de probabilidad que se utiliza para modelar variables aleatorias continuas que están sesgadas positivamente y tienen una distribución que no es normal. Esta distribución es particularmente útil cuando el logaritmo de la variable sigue una distribución normal. Se utiliza comúnmente en finanzas, economía e ingeniería para modelar cosas como precios de acciones, ingresos y el tamaño de partículas en una solución.
La distribución Log-Normal tiene muchas propiedades importantes y se puede utilizar para hacer predicciones sobre la probabilidad de que ocurran ciertos eventos. Además, se puede utilizar para calcular intervalos de confianza y para realizar pruebas de hipótesis para determinar si ciertas suposiciones sobre un conjunto de datos son válidas. En general, la distribución Log-Normal es una herramienta poderosa para analizar y modelar datos en una variedad de campos.
PDF:
f(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(ln(x) - \mu)^2}{2\sigma^2}}
Ejemplo: Precios de Acciones
Supongamos que los precios de las acciones siguen una distribución log-normal con \mu = 0 y \sigma = 1.
from scipy.stats import lognorm
mu, sigma = 0, 1
prob = lognorm.pdf(x, sigma, scale=math.exp(mu))11.3.6 Distribución Weibull
Utilizada en análisis de fiabilidad y está definida por dos parámetros: el parámetro de forma k y el parámetro de escala \lambda.
PDF:
f(x; k, \lambda) = k/\lambda \times (x/\lambda)^{(k-1)} \times e^{-(x/\lambda)^k}
Ejemplo: Vida Útil de un Producto
Supongamos que la vida útil T de un producto sigue una distribución de Weibull con k = 1.5 y \lambda = 5000.
from scipy.stats import weibull_min
k, lmbda = 1.5, 5000
prob = weibull_min.pdf(x, k, scale=lmbda11.3 Distribuciones de Probabilidad Especializadas
11.3.1 Distribución Exponencial
La distribución Exponencial es una distribución de probabilidad que se utiliza para modelar el tiempo entre eventos en un proceso de puntos de Poisson. Este proceso se caracteriza por la ocurrencia de eventos que suceden continuamente e independientemente a una tasa constante, denotada por $λ$. En otras palabras, la distribución Exponencial es una distribución de probabilidad continua que describe la cantidad de tiempo que transcurre antes de que ocurra un evento en un proceso de Poisson.
Esta distribución se utiliza ampliamente en varios campos, incluyendo ingeniería, economía y física, donde se utiliza para modelar el tiempo entre ocurrencias de ciertos eventos. Por ejemplo, la distribución Exponencial se puede usar para modelar el tiempo entre fallas de un sistema mecánico, el tiempo entre llegadas de clientes en una cola o el tiempo entre eventos de decaimiento radiactivo.
La distribución Exponencial es un concepto fundamental en la teoría de la probabilidad y es una herramienta esencial para modelar y analizar una amplia gama de fenómenos del mundo real.
Función de Densidad de Probabilidad (PDF):
$f(x;λ)=λe^{-λx}$ para $x≥0$.
Ejemplo: Tiempo de Espera para la Llegada de un Autobús
Digamos que estás esperando un autobús que llega, en promedio, cada 15 minutos. La tasa $λ$ sería entonces $1/15$ autobuses por minuto. La probabilidad de que tengas que esperar exactamente 10 minutos sería:
import math
lmbda = 1/15
x = 10
prob = lmbda * math.exp(-lmbda * x)11.3.2 Distribución de Poisson
La distribución de Poisson es un concepto estadístico que describe la probabilidad de un número específico de eventos (k) que ocurren dentro de un intervalo de tiempo fijo. Esta distribución de probabilidad se utiliza en una amplia gama de campos, incluyendo ingeniería, física y biología. Es particularmente útil cuando se analizan eventos raros que ocurren en intervalos aleatorios, como el número de defectos en un lote de productos, el número de llamadas recibidas por un centro de atención al cliente en una hora determinada, o el número de accidentes que ocurren en un tramo de carretera particular en un mes.
La distribución de Poisson lleva el nombre del matemático francés Siméon Denis Poisson, quien introdujo el concepto a principios del siglo XIX. Está relacionada con otras distribuciones de probabilidad, como las distribuciones binomial y normal, y se puede derivar de ellas bajo ciertas condiciones.
Para calcular la distribución de Poisson, necesitas conocer la tasa media de ocurrencia del evento (λ) y el intervalo de tiempo específico que te interesa. Una vez que tengas estos valores, puedes usar la fórmula de Poisson para calcular la probabilidad de que ocurran k eventos dentro de ese intervalo de tiempo.
En general, la distribución de Poisson es una herramienta poderosa para comprender la probabilidad de que ocurran eventos raros dentro de un período de tiempo fijo. Al utilizar este concepto, los investigadores y analistas pueden tomar decisiones más informadas y obtener una comprensión más profunda de los fenómenos que están estudiando.
Función de Masa de Probabilidad (PMF):
Ejemplo: Automóviles Pasando por un Túnel
Imagina un túnel donde, en promedio, pasan 5 autos cada minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 autos pasen en el próximo minuto?
from scipy.stats import poisson
lmbda = 5 # average number of cars per minute
k = 3 # number of occurrences
prob = poisson.pmf(k, lmbda)11.3.3 Distribución Beta
La distribución Beta es una familia ampliamente utilizada de distribuciones de probabilidad continua que se define en el intervalo [0, 1]. Está parametrizada por dos parámetros de forma positivos, $\alpha$ y $\beta$. La distribución Beta es una distribución versátil que se puede utilizar para modelar una amplia gama de fenómenos, incluyendo proporciones, proporciones de éxitos y fracasos, y el comportamiento de variables aleatorias que toman valores en el rango [0, 1].
Esta distribución se utiliza a menudo en estadística bayesiana, donde se utiliza para modelar las distribuciones previas y posteriores de probabilidades, así como en el aprendizaje automático, donde se utiliza en la construcción de modelos probabilísticos. Además, la distribución Beta tiene muchas propiedades interesantes, como el hecho de que es una distribución conjugada a la distribución binomial y que se puede utilizar para modelar el comportamiento de variables aleatorias que están limitadas en el rango [0, 1].
PDF:
f(x; \alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}
Donde B(\alpha, \beta) es la funcion beta.
Ejemplo: Calificaciones de Exámenes
Supongamos que las calificaciones de los exámenes se sabe que siguen una distribución Beta con parámetros \alpha = 2 and \beta = 5. Para encontrar la probabilidad de que una calificación de examen seleccionada al azar esté entre 0.4 y 0.6:
from scipy.stats import beta
a, b = 2, 5
prob = beta.cdf(0.6, a, b) - beta.cdf(0.4, a, b)11.3.4 Distribución Gamma
La distribución Gamma es una distribución de probabilidad versátil y útil que se caracteriza por dos parámetros. Esta distribución se utiliza ampliamente en diversos campos de estudio, incluyendo física, ingeniería, finanzas y biología.
La distribución Gamma es en realidad una generalización de otras dos distribuciones importantes, a saber, las distribuciones exponencial y Erlang. Se utiliza para modelar una amplia gama de fenómenos, desde el tiempo entre terremotos hasta el tiempo de espera entre llamadas telefónicas entrantes.
La distribución Gamma también es útil en el análisis de fiabilidad, donde se utiliza para modelar datos de tiempo hasta el fallo. Además, tiene aplicaciones en análisis bayesiano, donde se utiliza como una prior conjugada para ciertas funciones de verosimilitud. En general, la distribución Gamma es una herramienta poderosa para analizar conjuntos de datos complejos y es una parte esencial del conjunto de herramientas de cualquier estadístico.
PDF:
f(x; \alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}
Donde \Gamma(\alpha) es la función gamma.
Ejemplo: Tiempo de Espera para un Evento Específico
Supongamos que conoces el tiempo de espera promedio para un evento raro que sigue una distribución Gamma con \alpha = 2 and \beta = 1. Usando Python:
from scipy.stats import gamma
alpha, beta = 2, 1
prob = gamma.pdf(x, alpha, scale=1/beta)11.3.5 Distribución Log-Normal
La distribución Log-Normal es una distribución de probabilidad que se utiliza para modelar variables aleatorias continuas que están sesgadas positivamente y tienen una distribución que no es normal. Esta distribución es particularmente útil cuando el logaritmo de la variable sigue una distribución normal. Se utiliza comúnmente en finanzas, economía e ingeniería para modelar cosas como precios de acciones, ingresos y el tamaño de partículas en una solución.
La distribución Log-Normal tiene muchas propiedades importantes y se puede utilizar para hacer predicciones sobre la probabilidad de que ocurran ciertos eventos. Además, se puede utilizar para calcular intervalos de confianza y para realizar pruebas de hipótesis para determinar si ciertas suposiciones sobre un conjunto de datos son válidas. En general, la distribución Log-Normal es una herramienta poderosa para analizar y modelar datos en una variedad de campos.
PDF:
f(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(ln(x) - \mu)^2}{2\sigma^2}}
Ejemplo: Precios de Acciones
Supongamos que los precios de las acciones siguen una distribución log-normal con \mu = 0 y \sigma = 1.
from scipy.stats import lognorm
mu, sigma = 0, 1
prob = lognorm.pdf(x, sigma, scale=math.exp(mu))11.3.6 Distribución Weibull
Utilizada en análisis de fiabilidad y está definida por dos parámetros: el parámetro de forma k y el parámetro de escala \lambda.
PDF:
f(x; k, \lambda) = k/\lambda \times (x/\lambda)^{(k-1)} \times e^{-(x/\lambda)^k}
Ejemplo: Vida Útil de un Producto
Supongamos que la vida útil T de un producto sigue una distribución de Weibull con k = 1.5 y \lambda = 5000.
from scipy.stats import weibull_min
k, lmbda = 1.5, 5000
prob = weibull_min.pdf(x, k, scale=lmbda11.3 Distribuciones de Probabilidad Especializadas
11.3.1 Distribución Exponencial
La distribución Exponencial es una distribución de probabilidad que se utiliza para modelar el tiempo entre eventos en un proceso de puntos de Poisson. Este proceso se caracteriza por la ocurrencia de eventos que suceden continuamente e independientemente a una tasa constante, denotada por $λ$. En otras palabras, la distribución Exponencial es una distribución de probabilidad continua que describe la cantidad de tiempo que transcurre antes de que ocurra un evento en un proceso de Poisson.
Esta distribución se utiliza ampliamente en varios campos, incluyendo ingeniería, economía y física, donde se utiliza para modelar el tiempo entre ocurrencias de ciertos eventos. Por ejemplo, la distribución Exponencial se puede usar para modelar el tiempo entre fallas de un sistema mecánico, el tiempo entre llegadas de clientes en una cola o el tiempo entre eventos de decaimiento radiactivo.
La distribución Exponencial es un concepto fundamental en la teoría de la probabilidad y es una herramienta esencial para modelar y analizar una amplia gama de fenómenos del mundo real.
Función de Densidad de Probabilidad (PDF):
$f(x;λ)=λe^{-λx}$ para $x≥0$.
Ejemplo: Tiempo de Espera para la Llegada de un Autobús
Digamos que estás esperando un autobús que llega, en promedio, cada 15 minutos. La tasa $λ$ sería entonces $1/15$ autobuses por minuto. La probabilidad de que tengas que esperar exactamente 10 minutos sería:
import math
lmbda = 1/15
x = 10
prob = lmbda * math.exp(-lmbda * x)11.3.2 Distribución de Poisson
La distribución de Poisson es un concepto estadístico que describe la probabilidad de un número específico de eventos (k) que ocurren dentro de un intervalo de tiempo fijo. Esta distribución de probabilidad se utiliza en una amplia gama de campos, incluyendo ingeniería, física y biología. Es particularmente útil cuando se analizan eventos raros que ocurren en intervalos aleatorios, como el número de defectos en un lote de productos, el número de llamadas recibidas por un centro de atención al cliente en una hora determinada, o el número de accidentes que ocurren en un tramo de carretera particular en un mes.
La distribución de Poisson lleva el nombre del matemático francés Siméon Denis Poisson, quien introdujo el concepto a principios del siglo XIX. Está relacionada con otras distribuciones de probabilidad, como las distribuciones binomial y normal, y se puede derivar de ellas bajo ciertas condiciones.
Para calcular la distribución de Poisson, necesitas conocer la tasa media de ocurrencia del evento (λ) y el intervalo de tiempo específico que te interesa. Una vez que tengas estos valores, puedes usar la fórmula de Poisson para calcular la probabilidad de que ocurran k eventos dentro de ese intervalo de tiempo.
En general, la distribución de Poisson es una herramienta poderosa para comprender la probabilidad de que ocurran eventos raros dentro de un período de tiempo fijo. Al utilizar este concepto, los investigadores y analistas pueden tomar decisiones más informadas y obtener una comprensión más profunda de los fenómenos que están estudiando.
Función de Masa de Probabilidad (PMF):
Ejemplo: Automóviles Pasando por un Túnel
Imagina un túnel donde, en promedio, pasan 5 autos cada minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 autos pasen en el próximo minuto?
from scipy.stats import poisson
lmbda = 5 # average number of cars per minute
k = 3 # number of occurrences
prob = poisson.pmf(k, lmbda)11.3.3 Distribución Beta
La distribución Beta es una familia ampliamente utilizada de distribuciones de probabilidad continua que se define en el intervalo [0, 1]. Está parametrizada por dos parámetros de forma positivos, $\alpha$ y $\beta$. La distribución Beta es una distribución versátil que se puede utilizar para modelar una amplia gama de fenómenos, incluyendo proporciones, proporciones de éxitos y fracasos, y el comportamiento de variables aleatorias que toman valores en el rango [0, 1].
Esta distribución se utiliza a menudo en estadística bayesiana, donde se utiliza para modelar las distribuciones previas y posteriores de probabilidades, así como en el aprendizaje automático, donde se utiliza en la construcción de modelos probabilísticos. Además, la distribución Beta tiene muchas propiedades interesantes, como el hecho de que es una distribución conjugada a la distribución binomial y que se puede utilizar para modelar el comportamiento de variables aleatorias que están limitadas en el rango [0, 1].
PDF:
f(x; \alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}
Donde B(\alpha, \beta) es la funcion beta.
Ejemplo: Calificaciones de Exámenes
Supongamos que las calificaciones de los exámenes se sabe que siguen una distribución Beta con parámetros \alpha = 2 and \beta = 5. Para encontrar la probabilidad de que una calificación de examen seleccionada al azar esté entre 0.4 y 0.6:
from scipy.stats import beta
a, b = 2, 5
prob = beta.cdf(0.6, a, b) - beta.cdf(0.4, a, b)11.3.4 Distribución Gamma
La distribución Gamma es una distribución de probabilidad versátil y útil que se caracteriza por dos parámetros. Esta distribución se utiliza ampliamente en diversos campos de estudio, incluyendo física, ingeniería, finanzas y biología.
La distribución Gamma es en realidad una generalización de otras dos distribuciones importantes, a saber, las distribuciones exponencial y Erlang. Se utiliza para modelar una amplia gama de fenómenos, desde el tiempo entre terremotos hasta el tiempo de espera entre llamadas telefónicas entrantes.
La distribución Gamma también es útil en el análisis de fiabilidad, donde se utiliza para modelar datos de tiempo hasta el fallo. Además, tiene aplicaciones en análisis bayesiano, donde se utiliza como una prior conjugada para ciertas funciones de verosimilitud. En general, la distribución Gamma es una herramienta poderosa para analizar conjuntos de datos complejos y es una parte esencial del conjunto de herramientas de cualquier estadístico.
PDF:
f(x; \alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}
Donde \Gamma(\alpha) es la función gamma.
Ejemplo: Tiempo de Espera para un Evento Específico
Supongamos que conoces el tiempo de espera promedio para un evento raro que sigue una distribución Gamma con \alpha = 2 and \beta = 1. Usando Python:
from scipy.stats import gamma
alpha, beta = 2, 1
prob = gamma.pdf(x, alpha, scale=1/beta)11.3.5 Distribución Log-Normal
La distribución Log-Normal es una distribución de probabilidad que se utiliza para modelar variables aleatorias continuas que están sesgadas positivamente y tienen una distribución que no es normal. Esta distribución es particularmente útil cuando el logaritmo de la variable sigue una distribución normal. Se utiliza comúnmente en finanzas, economía e ingeniería para modelar cosas como precios de acciones, ingresos y el tamaño de partículas en una solución.
La distribución Log-Normal tiene muchas propiedades importantes y se puede utilizar para hacer predicciones sobre la probabilidad de que ocurran ciertos eventos. Además, se puede utilizar para calcular intervalos de confianza y para realizar pruebas de hipótesis para determinar si ciertas suposiciones sobre un conjunto de datos son válidas. En general, la distribución Log-Normal es una herramienta poderosa para analizar y modelar datos en una variedad de campos.
PDF:
f(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(ln(x) - \mu)^2}{2\sigma^2}}
Ejemplo: Precios de Acciones
Supongamos que los precios de las acciones siguen una distribución log-normal con \mu = 0 y \sigma = 1.
from scipy.stats import lognorm
mu, sigma = 0, 1
prob = lognorm.pdf(x, sigma, scale=math.exp(mu))11.3.6 Distribución Weibull
Utilizada en análisis de fiabilidad y está definida por dos parámetros: el parámetro de forma k y el parámetro de escala \lambda.
PDF:
f(x; k, \lambda) = k/\lambda \times (x/\lambda)^{(k-1)} \times e^{-(x/\lambda)^k}
Ejemplo: Vida Útil de un Producto
Supongamos que la vida útil T de un producto sigue una distribución de Weibull con k = 1.5 y \lambda = 5000.
from scipy.stats import weibull_min
k, lmbda = 1.5, 5000
prob = weibull_min.pdf(x, k, scale=lmbda11.3 Distribuciones de Probabilidad Especializadas
11.3.1 Distribución Exponencial
La distribución Exponencial es una distribución de probabilidad que se utiliza para modelar el tiempo entre eventos en un proceso de puntos de Poisson. Este proceso se caracteriza por la ocurrencia de eventos que suceden continuamente e independientemente a una tasa constante, denotada por $λ$. En otras palabras, la distribución Exponencial es una distribución de probabilidad continua que describe la cantidad de tiempo que transcurre antes de que ocurra un evento en un proceso de Poisson.
Esta distribución se utiliza ampliamente en varios campos, incluyendo ingeniería, economía y física, donde se utiliza para modelar el tiempo entre ocurrencias de ciertos eventos. Por ejemplo, la distribución Exponencial se puede usar para modelar el tiempo entre fallas de un sistema mecánico, el tiempo entre llegadas de clientes en una cola o el tiempo entre eventos de decaimiento radiactivo.
La distribución Exponencial es un concepto fundamental en la teoría de la probabilidad y es una herramienta esencial para modelar y analizar una amplia gama de fenómenos del mundo real.
Función de Densidad de Probabilidad (PDF):
$f(x;λ)=λe^{-λx}$ para $x≥0$.
Ejemplo: Tiempo de Espera para la Llegada de un Autobús
Digamos que estás esperando un autobús que llega, en promedio, cada 15 minutos. La tasa $λ$ sería entonces $1/15$ autobuses por minuto. La probabilidad de que tengas que esperar exactamente 10 minutos sería:
import math
lmbda = 1/15
x = 10
prob = lmbda * math.exp(-lmbda * x)11.3.2 Distribución de Poisson
La distribución de Poisson es un concepto estadístico que describe la probabilidad de un número específico de eventos (k) que ocurren dentro de un intervalo de tiempo fijo. Esta distribución de probabilidad se utiliza en una amplia gama de campos, incluyendo ingeniería, física y biología. Es particularmente útil cuando se analizan eventos raros que ocurren en intervalos aleatorios, como el número de defectos en un lote de productos, el número de llamadas recibidas por un centro de atención al cliente en una hora determinada, o el número de accidentes que ocurren en un tramo de carretera particular en un mes.
La distribución de Poisson lleva el nombre del matemático francés Siméon Denis Poisson, quien introdujo el concepto a principios del siglo XIX. Está relacionada con otras distribuciones de probabilidad, como las distribuciones binomial y normal, y se puede derivar de ellas bajo ciertas condiciones.
Para calcular la distribución de Poisson, necesitas conocer la tasa media de ocurrencia del evento (λ) y el intervalo de tiempo específico que te interesa. Una vez que tengas estos valores, puedes usar la fórmula de Poisson para calcular la probabilidad de que ocurran k eventos dentro de ese intervalo de tiempo.
En general, la distribución de Poisson es una herramienta poderosa para comprender la probabilidad de que ocurran eventos raros dentro de un período de tiempo fijo. Al utilizar este concepto, los investigadores y analistas pueden tomar decisiones más informadas y obtener una comprensión más profunda de los fenómenos que están estudiando.
Función de Masa de Probabilidad (PMF):
Ejemplo: Automóviles Pasando por un Túnel
Imagina un túnel donde, en promedio, pasan 5 autos cada minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 autos pasen en el próximo minuto?
from scipy.stats import poisson
lmbda = 5 # average number of cars per minute
k = 3 # number of occurrences
prob = poisson.pmf(k, lmbda)11.3.3 Distribución Beta
La distribución Beta es una familia ampliamente utilizada de distribuciones de probabilidad continua que se define en el intervalo [0, 1]. Está parametrizada por dos parámetros de forma positivos, $\alpha$ y $\beta$. La distribución Beta es una distribución versátil que se puede utilizar para modelar una amplia gama de fenómenos, incluyendo proporciones, proporciones de éxitos y fracasos, y el comportamiento de variables aleatorias que toman valores en el rango [0, 1].
Esta distribución se utiliza a menudo en estadística bayesiana, donde se utiliza para modelar las distribuciones previas y posteriores de probabilidades, así como en el aprendizaje automático, donde se utiliza en la construcción de modelos probabilísticos. Además, la distribución Beta tiene muchas propiedades interesantes, como el hecho de que es una distribución conjugada a la distribución binomial y que se puede utilizar para modelar el comportamiento de variables aleatorias que están limitadas en el rango [0, 1].
PDF:
f(x; \alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}
Donde B(\alpha, \beta) es la funcion beta.
Ejemplo: Calificaciones de Exámenes
Supongamos que las calificaciones de los exámenes se sabe que siguen una distribución Beta con parámetros \alpha = 2 and \beta = 5. Para encontrar la probabilidad de que una calificación de examen seleccionada al azar esté entre 0.4 y 0.6:
from scipy.stats import beta
a, b = 2, 5
prob = beta.cdf(0.6, a, b) - beta.cdf(0.4, a, b)11.3.4 Distribución Gamma
La distribución Gamma es una distribución de probabilidad versátil y útil que se caracteriza por dos parámetros. Esta distribución se utiliza ampliamente en diversos campos de estudio, incluyendo física, ingeniería, finanzas y biología.
La distribución Gamma es en realidad una generalización de otras dos distribuciones importantes, a saber, las distribuciones exponencial y Erlang. Se utiliza para modelar una amplia gama de fenómenos, desde el tiempo entre terremotos hasta el tiempo de espera entre llamadas telefónicas entrantes.
La distribución Gamma también es útil en el análisis de fiabilidad, donde se utiliza para modelar datos de tiempo hasta el fallo. Además, tiene aplicaciones en análisis bayesiano, donde se utiliza como una prior conjugada para ciertas funciones de verosimilitud. En general, la distribución Gamma es una herramienta poderosa para analizar conjuntos de datos complejos y es una parte esencial del conjunto de herramientas de cualquier estadístico.
PDF:
f(x; \alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}
Donde \Gamma(\alpha) es la función gamma.
Ejemplo: Tiempo de Espera para un Evento Específico
Supongamos que conoces el tiempo de espera promedio para un evento raro que sigue una distribución Gamma con \alpha = 2 and \beta = 1. Usando Python:
from scipy.stats import gamma
alpha, beta = 2, 1
prob = gamma.pdf(x, alpha, scale=1/beta)11.3.5 Distribución Log-Normal
La distribución Log-Normal es una distribución de probabilidad que se utiliza para modelar variables aleatorias continuas que están sesgadas positivamente y tienen una distribución que no es normal. Esta distribución es particularmente útil cuando el logaritmo de la variable sigue una distribución normal. Se utiliza comúnmente en finanzas, economía e ingeniería para modelar cosas como precios de acciones, ingresos y el tamaño de partículas en una solución.
La distribución Log-Normal tiene muchas propiedades importantes y se puede utilizar para hacer predicciones sobre la probabilidad de que ocurran ciertos eventos. Además, se puede utilizar para calcular intervalos de confianza y para realizar pruebas de hipótesis para determinar si ciertas suposiciones sobre un conjunto de datos son válidas. En general, la distribución Log-Normal es una herramienta poderosa para analizar y modelar datos en una variedad de campos.
PDF:
f(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(ln(x) - \mu)^2}{2\sigma^2}}
Ejemplo: Precios de Acciones
Supongamos que los precios de las acciones siguen una distribución log-normal con \mu = 0 y \sigma = 1.
from scipy.stats import lognorm
mu, sigma = 0, 1
prob = lognorm.pdf(x, sigma, scale=math.exp(mu))11.3.6 Distribución Weibull
Utilizada en análisis de fiabilidad y está definida por dos parámetros: el parámetro de forma k y el parámetro de escala \lambda.
PDF:
f(x; k, \lambda) = k/\lambda \times (x/\lambda)^{(k-1)} \times e^{-(x/\lambda)^k}
Ejemplo: Vida Útil de un Producto
Supongamos que la vida útil T de un producto sigue una distribución de Weibull con k = 1.5 y \lambda = 5000.
from scipy.stats import weibull_min
k, lmbda = 1.5, 5000
prob = weibull_min.pdf(x, k, scale=lmbda